Công Thức Tính Đạo Hàm Căn Bậc 3 Và Một Số Ví Dụ Minh Họa

Lấy một hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), với x0 ∈ (a;b). Ta có giới hạn hữu tỉ (nếu tồn tại) của tỉ số [f(x) – f(x0)] / [x – x0] khi x tiến đến x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đặt trước tại x0. Kí hiệu đạo hàm là f’(x0) hay y’(x0). Theo đó, ta sẽ có f’(x0) = lim⁡(x→x0)[f(x) – f(x0)] / [x – x0]. Nếu ta đặt Δx = x – x0 và f(x0 + Δx) – f(x0) = Δy, thì ta sẽ thu được f’(x0) = lim⁡(Δx→0)Δy/Δx. Trong đó: • x: số gia của đối số tại x0 • y: số gia tương ứng của hàm số đã cho.​ Lấy một hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), với x₀ ∈ (a;b). Ta có giới hạn hữu tỉ (nếu tồn tại) của tỉ số (\frac{{f(x)-f(x₀)}}{{x-x₀}}) khi (x \to {x₀}) được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại (𝑥₀). Kí hiệu đạo hàm là (f′(x₀)) hay (y′(x₀)). Theo đó, ta sẽ có (f′(x₀)=\lim_{{x \to {x₀}}} \frac{{f(x)-f(x₀)}}{{x-x₀}}). Nếu ta đặt (Δ𝑥 = 𝑥 – 𝑥₀) và (f(x₀+Δ𝑥)- f(x₀)=Δ𝑦), thì ta sẽ thu được (f′(x₀) = \lim_{{Δx \to 0}} \frac{{Δy}}{{Δ𝑥}}). Trong đó: • x: số gia của đối số tại x₀ • y: số gia tương ứng của hàm số đã cho

(𝑥)′ = 12𝑥 và (𝑢)′ = 𝑢^2𝑢′ với hàm 𝑢 là hàm hợp(x) (𝑦)′ = 2𝑦^1 và (𝑛𝑢)′ = 𝑛/1.𝑛/1+1.𝑢′ với hàm 𝑢 là hàm hợp Ngoài ra, nếu cần tính đạo hàm căn bậc 3 trở lên hay hàm số có căn thức dưới mẫu thì các em có thể biến đổi biểu thức và sử dụng các công thức đạo hàm dưới đây: ∙ 𝑐 = √[∙] = √[∙].Ɗ-1.Ɗ′ ∙ √(𝜈) = 𝜈^(-1/2).√(Nu) = N^(1/Nu).Nu^(Nu/Nu-1).Nu’ ∙ (√(ℎα))’ = α.ℎ^(α-1).h’ và (√(ℎ^(-1)))’ = -h’^2/(2h^(3/2)) Ví dụ về cách tính đạo hàm của hàm căn thức cụ thể như sau: ∙ √(x²) = 2x‾‾‾‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾> (2x)’ = (2x²)’/(2x) = (4x)/(2x) = 2 ∙ √(x²+1) = x^(2+1/2) = 2x/x.√(x²+1) = 2.√(x²+1)/(2x) ∙ √(1/(x²+1)) = -((x²+1)’)/((x²+1)²) = -((2x)/(x²+1))/(2(x²+1)²) = -((4-4)/(4(x²+1)))/(8(x²+1)) = -4/(8(x²+1)) ∙ 𝑦 = 𝑥 + √(𝑥) ‾ ‾ ‾ ‾ > 𝑦’ = (𝑥 + √(𝑥))’ = (𝑥)’ + (√(𝑥))’ = 1 + (2√(𝑥))/(2√(𝑥)) = 1 + (𝑦)/(𝑛u) ∙ 𝑦 = sin⁡(𝑥) + 1 ‾ ‾ ‾ ‾ > 𝑦’ = (sin⁡(𝒙)+１)’ ＝cos⁡(ｘ)+１ ＝２(cos⁡（ｘ）＋１） ＝２cos⁡（ｘ）＋

• Lũy thừa với số mũ nguyên dương a: a^n = a.a.a…a (n lần lũy thừa a).
• Lũy thừa với số mũ nguyên âm a ≠ 0: a^(-n) = 1/a^n và a^0 = 1.
• Lũy thừa với số mũ hữu tỉ a > 0: a^(m/n) = n√(a^m) (m, n thuộc Z, n ≥ 2). Từ đó, có thể suy ra được công thức tính đạo hàm căn bậc 3 như sau: f(x) = x^(1/3) ⇒ (x^(1/3))’ = (1/3).x’/(x^(2/3)) = (1/3).(x’)/(x^(2/3)) Dưới đây là một số ví dụ về đạo hàm căn bậc 3:
• f(x) = x^(2/3) ⇒ f’(x)=[(x^(2/3))]’=(2/3).(x’)/(x^(1/3))
• f(x)= x^(-2)+(1/3)=(x^(-2)+1)/(3) ⇒ f’(x)= [(x^-2+1)/3]’= (1/3).[((x^-2+1)’/(x^-2+1))] =(1/6).[((-2)(x^-4))/((x^-2+1)^2)] =( -((2/x^4))/(6(x^-4+1)^2)
• f(x)= 3x^2=x^(2/3) ⇒ f’(x)=[(3x^2)^(1/3)]’=(1/3).(3x^2)’/(3x^2)^(2/3) = (1/3).(6x)/(9x^4)^(1/3) = 2x/(3^(1/3)).(x^4)^(1/3) = (2/(3^(1/3))).(cube root of (x^4))